数学之美
我认为数学的真谛就是美，所以我今天就和朋友们谈一谈我对数学群论的感悟，虽然我学的是理工，只是一个业余的数学爱好者。业余不等于专业，但是让全世界众多专业数学家们劳心费神了三百多年的费马大定理猜想却出自一个业余数学家之手，一个17世纪法国乡村教师皮埃尔.德.费马（Pierre de Fermat）之手。我也知道最终证明了费马大定理猜想的安德鲁.怀尔斯（Andrew Wiles）历经了7年与世隔绝的研究。那是1995年5月，《数学年鉴》用109页的篇幅刊登了安德鲁.怀尔斯最后的证明《Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theoretic》，他因此成为了名人。
我不想去研究怀尔斯的Modular Elliptic Curves，尽管模椭圆曲线和四维空间中维纳斯女神的身影是多么的异曲同工，我最醉心的还是伽罗华的群论。我曾经说过群论的真谛就是4+5=6，有的朋友就很兴奋地说，知道啦知道啦，6倒过来看就是9，6=9就是群论的真谛。
我点燃了一支烟，一缕缕缥缈的轻烟在窗外夕阳余晖的泛映下闪现着霓虹般的色彩，就像是时光倒流回到了一片混沌的世界。我想起来了大学一年级的一个午后，那天的夕阳和今天一样的灿烂，我就沐浴在那温柔的夕阳余辉之中，还真叫一个惬意。知道了吧，是在我们学校图书馆二楼的阅览室里。那个夏日的午后我知道了一个人，那个人就是E.Galois，法国最伟大的青年传奇数学家伽罗华（1811—1832）。
我们知道，在1770年前后，法国数学家拉格朗日（J.Lagrange,1736—1823）转变代数的思维方法，提出通过方程根的排列与置换理论来解代数方程的方法，这本质上就是自发地运用了后来“群”的概念来解代数方程，这种思维方法和研究根的置换方法给后人以很大启示。其后，有关代数方程求解问题的进一步发展，导致了群论的产生——1831年，法国青年数学家伽罗华终于创立了一门关于置换或对称的数学理论——群论。伽罗华在拉格朗日的基础上去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗华首次提出了“群”这一术语。他把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。其次，他认为，了解置换群是解决方程理论的关键，而方程是一个其根的对称性可用群的性质描述的系统。由此，他开始把方程解的问题转化为群论的问题来解决，因此后人都称他为群论的创始人。
伽罗华的群论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。可惜的是，伽罗华的理论毕竟太深奥，对19世纪初的人们来说是很难理解的——即使是当时的一些数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以致他的思想受到了数学界的冷遇，论文也得不到发表。更不幸的是伽罗华在21岁时便因一场愚蠢的决斗而英年早逝，让人不得不为这位天才短暂、失意、悲剧性的一生感到惋惜。
到19世纪60年代，伽罗华的思想才终于为人们所理解和接受，群论也进一步得到发展，如1854年，开莱（1821—1895）给一般抽象群下了一个定义，并发展了矩阵理论。随着群论的发展和成熟，使人们关于对称性的描述上升到系统的抽象的定量阶段，这样有关对称性的研究就可以超越以往形象直观的局限而充分发挥人的逻辑思维的深刻性了。特别是随着群论在量子力学和现代化学中的反应理论、结构理论等领域的广泛应用，它已经成为描述自然界对称性的有力武器。
我在多年的实践中对群论的思想有了自己独特的理解，也就是说，群论是一种利用逆变换的逆向思维方式。
逆变换是相对于另一变换而言的。对某对象Г，存在变换T，使TГ=Г′，若存在另一变换T′，使T′Г′=Г，则称T′为变换T的逆变换，记作T′=T-1 ，且T T-1=E。
逆变换的逆向思维模式为：对某对象Г，无法找到变换T，使得TГ=Г′，若能找到逆变换T-1，使T-1Г′=Г，则可认为变换T实现了。这就是时空反演的理论基础。
我在这里举一个例子来加强朋友们对逆变换思维方式的理解。
古时候有个国家的国王想考验一下他的一位谋士的智慧，便说：“你有没有本事把我从宝座上请到丹樨来？”谋士说：“我没有办法。但如果您在下面，我就有办法请您坐到宝座上去。”国王听后，说：“我不信。”于是国王走下宝座，到丹樨来。这时谋士笑着说：“您不是被我请下来了吗？”
在此例中，谋士所应用的就是逆变换的方法。
设
M=（国王，位置，宝座上），
国王要谋士作变换T，使TM=（国王，位置，丹樨）=M′。
显然，对于变换T，谋士作了变换T-1，使
T -1 M′=（国王，位置，宝座上）= M。
由于国王不相信谋士的变换T-1能实现，于是从宝座上下到丹樨来。但谋士的目的不是为了实现T-1，而是为了实现T。通过此逆变换，谋士使国王的目标改变，从而达到了自己的目标。
这种利用逆变换的逆向思维模式，就是时空反演理论的思维模式。
说到这里我想起来了江恩创造的“江恩理论”。江恩是20世纪初期传奇的金融预测家和操盘大师。江恩在他的自传体小说《空中隧道》中说：“宇宙万物都处在周期性的循环运动之中，不论是具体的还是抽象的、物质的还是精神的。”江恩因准确地预测出了美国1929年9月股市的暴跌而令人对其理论顶礼膜拜。江恩声称，他的每一个预测都是根据数学原则推算的。如果有充足的资讯，他能根据周期理论、古老的“数学”和“几何学”预测即将到来的事件。在他看来，所有的事件都是根据“数学”原则发展出来的。江恩一生50多年的预测和操盘实践以及光辉业绩也以完全证实了他的说法。江恩自20世纪20年代kai始，每年都出版一份股市预测报告，在一年之前预测来年股市的走势。江恩的预测极为细致，包括预测全年市场在什么时间见顶见底。换言之，江恩的全年预测是为投资者提供一份股市的未来走势图，有明确的时间坐标以供确认。
