看下面的分析是否正确(打出片子——题1,题2):
题1:找1~10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数,共有4个;第二类办法是找含因数3的合数,共有2个;第三类办法是找含因数5的合数,共有1个.
1~10中一共有N=4+2+1=7个合数.
题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路需要8时,中路需要4时,南路需要6时,B村到C村的北路需要5时,南路需要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同的走法?
第一步从A村到B村有3种走法,第二步从B村到C村有2种走法,共有N=3×2=6种不同走法.
题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.
从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.
(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项,这样安排,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培养学生的学习能力)
进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以.
如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以直接应用乘法原理.
也就是说:类类互斥,步步独立.
(在学生对问题的分析不是很清楚时,教师及时地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清晰和明确,不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)
(三)应用举例
现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些简单问题了.
例1 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?
(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?
(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?
(让学生思考,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,教师巡视指导,并适时口述解法)
(1)从书架上任取一本书,可以有3类办法:第一类办法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本,有6种方法.根据加法原理,得到的取法种数是
N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.
(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,需要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;第二步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语